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抽象函数是历年高考的拉分题目，这类题目涵盖了对初等函数两域三性的综合考查，对思维的能力要求较高。对于抽象函数的解决一般用两种方法，一是找到适合题意的具体初等函数模型，将抽象函数“特殊化”来处理；二是根据题意，抽象问题“抽象化”来处理。
下面将抽象函数的重要规律和秒杀公式的构造技巧归纳如下。
一、复合抽象函数的奇偶性
①f(x+a)为奇函数f(x+a)=－f(－x+a)；
f(x)为奇函数f(x+a)=－f(－x－a)．
②f(x+a)为偶函数f(x+a)=f(－x+a)；
f(x)为偶函数时f(x+a)=f(－x－a)．
例1：(2017年全国新课标Ⅰ)函数f(x)在(－∞,+∞)上单调递减,且为奇函数,若f(1)=－1,则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取范围是( )
A．[－2，2] B．[－1，1] C．[0，4] D．[1，3]
解法一：由于函数f(x)在(－∞,+∞)上单调递减,且为奇函数,f(1)=－1,所以f(－1)=－f(1)=1,所以原不等式即－1≤x－2≤1,于是1≤x≤3.
解法二：这个题目也可以用特殊化来处理：很显然f(x)=－x满足“在(－∞,+∞)上单调递减,且为奇函数,若f(1)=－1”，于是f(x－2)=2－x,原不等式即－1≤2－x≤1,于是1≤x≤3.
例2：函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x－1)都是奇函数，则( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)=f(x+2) D．f(x+3)是奇函数
解析：∵f(x+1)与f(x－1)都是奇函数，∴f(－x+1)=－f(x+1)，f(－x－1)=－f(x－1)．∴函数f(x)的图象关于直线（1，0）及（-1，0）对称，∴函数f(x)是周期T=2[1－(－1)]=4的周期函数．∴f(－x－1+4)=－f(x－1+4)，即f(－x+3)=－f(x+3)，∴f(x+3)是奇函数．故选(D)．
例3：（2014全国卷）奇函数f(x)的定义域为R．若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)=( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
解析：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)=－f(x)，f(0)=0．因为f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)=f(－x+2)，所以f(x+4)=f(－x)=－f(x)，所以f(x+8)=f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1．答案：D
二、函数图象的对称性
①f(a+x)+f(a-x)=0 函数f(x)的图象关于点(a，0)对称；
②f(h+x)+f(h-x)=2k 函数f(x)的图象关于点(h，k)对称；
③f(a+x)=f(a-x) 函数f(x)的图象关于直线x=a对称．
④定义在R上的函数y= f(x)，对于任给的x∈R，若有f(m+x)=f(n-x)成立(其中m、n为常数)，则y= f(x)的图象关于直线x=(m+n)/2对称．
⑤定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R，若有f(m+x)=-f(n-x)成立(其中m、n为常数)，则y=f(x)的图象关于点((m+n)/2，0)对称．
例4：（2016年全国卷）
三、根据对称轴或对称中心构造函数
例5：(2018全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域(－∞,+∞)上的奇函数,满足f(1－x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+ f(2)+ f(3)+……+ f(50)=( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
解析：由f(1－x)=f(1+x)可知f(x)的图象关于x=1对称，又f(X)为奇函数,故(0,0)为其对称中心.由规律(4)可构造f(x)=Asinπx/2,因为f(1)=2,所以A=2.即f(x)=2sinπx/2。
由f(x)的周期为4可得f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)=2+0-2+0=0,所以f(1)+ f(2)+ f(3)+……+ f(50)=12×0＋(2+0)=2,故选项C正确.
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