题目:求sin15°的值。
先贴上答案:
之所以说是“半特殊角”,是因为15°不是直接知道三角函数值的特殊角,但又是特殊角30°的一半。
方法一:(几何法)
构造一个直角三角形,通过两个15°角凑成30°特殊角。
做直角△ABC,其中∠BAC=30°,∠C为直角。
延长CA至D,使得AD=AB。这样30°作为等腰三角形ABC的一个外角,被拆分成两个15°的内角。
设BC=a, 则AC=√3a,AB=2a,AD=2a。
根据勾股定理有:
于是可以求得:
方法二:(代数法)
可以使用三角函数的诱导公式、二倍角公式、和差化积公式等对15°角进行转化。例如,容易想到利用二倍角公式计算。
现在问题来了,接下来怎么计算?答案当然是凑完全平方。
凑完全平方需要构造成x^2+2xy+y^2的形式。
这种凑完全平方的技巧,当你尝试得多了,自然会有感觉。
如果你嫌这个方法麻烦,可以先计算tan15°。
其中2+√3 > 1,不符合题意,舍掉。
有了正切值,再算正弦值不难吧?这是基本操作。
【总结】15°的三角函数值应该记住,可以当做已知特殊角在计算中使用。
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