在高中数学中，圆的方程是选修课，也是高考常考的内容，圆的方程分为标准方程，一般方程.
（1）圆的标准方程：设圆心为C（a，b），半径为r，则圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x2+y2=r.
（2）圆的一般方程：当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程，它表示圆心为（-a/2,-E/2），半径为r=√（D2+E2-F）/2的圆.
已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点，且OP垂直OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.
【分析】
（1）利用垂直列出坐标之间的关系，再化为关于m的方程求解；
（2）OP垂直OQ得到O点在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解；
（3）利用圆的性质列出m的方程求解.
【解析】
解法一：
将x=3-2y，代入方程x2+y2+x-6y+m=0.
得5y2-20y+12+m=0.
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1，y2满足条件：y1+y2=4，y1y2=（12+m）/5.
∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0.
而x1=3-2y1，x2=3-2y2，
∴x1x2=9-6（y1+y2）+4y1y2.
∴m=3，此时Δ>0，圆心坐标为（-1/2，3），半径r=5/2.
解法二：
如图所示，设弦PQ中点为M,
∵O1M⊥PQ,K(O1M)=2.
∴O1M的方程为y-3=2x+1，即y=2x+4.
由方程组y=2x+4，x+2y-3=0，解得M的坐标为(-1，2).
则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.
在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.
∴（-1/2+1）2+（3-2）2+5=［1+（-6）2-4m］/4.
∴m=3.∴半径为5/2，圆心为（-1/2，3）.
解法三：
设过P,Q的圆系方程为
x2+y2+x-6y+m+λ（x+2y-3）=0.
由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.
∴m-3λ=0，即m=3λ.
∴圆的方程可化为
x2+y2+6y+3λ+λx+2λy-3λ=0.
即x2+（1+λ）x+y2+2（λ-3）y=0.
∴圆心M(-（1+λ）/2，2（3-λ）/2)，
又圆在PQ上，
∴-（1+λ）/2+2（3-λ）-3=0，∴λ=1，∴m=3.
∴圆心为（-1/2，3），半径为5/2.
【评析】
（1）在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往使得思路简捷明了，简化思路，简便运算.
（2）本题中三种解法都是用方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值.
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，请发送邮件举报，一经查实，本站将立刻删除。
