作者 | 李梦樵
来源 | 《中学数学教学》1983年03期
三、海岛算经
《海岛算经》是三国时代魏刘徽所著，原名《重差术》，后人因书中开头有“今有望海岛”句，改称《海岛算经》，是《算经十书》之一。
我国测量术在远古时代就有发展。传说中大禹治水“左准绳，右规矩”，这说明测量是治水中重要的一环。《周髀算经》载有陈子根据日影长短及勾股定理和相似三角形定理测量日高。《九章算术》中也有利用相似三角形的命题。刘徽把前人研究得出的成果加以发展，写下了以测量术为主要内容的《重差术》，即《海岛算经》。
《海岛算经》第一题：“今有望海岛立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相值，从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰亦与表末参合，问岛高及去表各几何？”
原题的意思是说：有人望海岛(AB)，立二表（CD和EF），都高三丈，前后相距（DF）1000步，使后表和前表的上下两端各在同一水平线上，从前表退行（DG） 123步，人伏地上（G)望岛峰(A)恰和表顶（C）相合，以后表退行（FH)127步，人伏地上（H）再望岛峰(A)也和表顶（E)相合，问岛的高(AB)和远（BD)各多少?答：高4里55步，远102里150步。（1里=300步，1步=6尺）
解：作EL//CG交BH于L，又因CD//EF且CD=EF
△CDG△EFL
DG=FL LH=FH-FL=FH-DG
∵ △AKC~△EFL，△ACE~△ELH
∴ AK:EF=CE:LH
即 AK:CD=DF:(FH-DG)
①
同理可得：AC:EL=KC:FL=CE:LH
即 BD:DG=DF:(FH-DG)
②
用已知数代入①再加KB(=CD)就得海岛的高。代入②就得海岛的远。
《海岛算经》第四题是说：有人望深谷（L)置矩于岸（A)，勾高（GA和EB)6尺， A从勾端（G）望谷底(L)合于股上九尺一寸处（H)，又置一矩于上方和下矩相距（BA）三丈，再从勾端(E)望谷底合于股上八尺五寸（C)，问谷深（AK)是多少？答：谷深41丈9尺。
解：作CP//EK，联GP并延长之交LK于Q，则GQ//EL，
GK:EG=QK:LQ
由△GLQ~△GHP，△GQK~△GPA
得QK:LQ=PA:HP=CB:(HA-CB)
由①求得GK后，减去GA就得所求的数。
《海岛算经》第六题是说，有人望东南方港口（AB），立两表（P和Q），南北相距9丈(d)，以绳索靠地连结。当北表（P)向西行去表六丈（b），伏地（C）望港口南岸（A)合于绳索上距北表四丈二寸(PE=)，望北岸（B），合于绳索上距前合的点（于F）一丈二尺（EF=），又退行距表（P)十三丈五尺（a），伏地(D），遥望港口南岸（A）与南表（Q)相合，问港口（AB）阔多少?
解：过E点作EK//AD，则△PQD~△PEK.
PK:PD=PE: PQ
PK=，
又∵ △CDA~△CKE
CK:CD=CE:CA=EF:AB
从以上所举（一）（四）（六）三题，可以知道古人用表、用矩、用绳的测量方法。此外，书中第二题是测量山上树高，第三题是测量远处城市的大小，第五题是从山上测量平地上塔的高度，第七题是测量水中白石的深度，第八题是从山上测量河的宽度，第九题是从山上测量城市的大小。英国皇家学会会员李约瑟说：“无论从军事上或非军事上，这些测量的意义，都是显然易见的。”
《海岛算经》在元、明时代已经亡佚，清代乾隆时期，安徽数学家戴震从《永乐大典》辑出，重行刊印。李潢作《九章算术细草图说》未竟其业病卒。由沈钦裴详加校订并补注《海岛算经》署名李潢刊印行世。其中第七题解法有微误，经北京师范大学程廷熙教授为之改正，由梁绍鸿教授发表于1957年10月号《数学通讯》。
刘徽生存于公元260年前后，以为《九章算术》作注，享有盛名。论者至谓“刘徽注《九章算术》与许慎说文解字同有功于六艺。”洵为定评。
从《九章算术》注中可以看到，刘徽确是公元三世纪伟大的数学家，举其大者有三：
（1）刘徽首创割圆术，刘徽认为“径一周三”是圆内接正六边形的周界与直径的比，把它当作圆的周界，实际是太小了。他主张把内接正六边形的边数无限倍增即6，12，24，48，96，192，384，……如是继续下去。他说：“割之弥细，所失弥寡；割之又割以至不可再割，则与圆周相合而无所失矣。”这种“无限逼近”的思想，正是求极限思想，命θ为弧度，当θ甚小时，它所对的弦sinθ亦为甚小，有。（弦与弧相合)
（2）刘徽用割圆术求到正192边形时得圆周率n=3.14，后人称做“徽率”。 刘徽求到正3072边形时得n=，即π=3.1416。
（3）刘徽创建了一个原理，即“等高的两个立体置于同一平面上，如果用平行于底面的平面连续截之，所得两截面的比值恒为定值，即，那么(与是两立体的体积)。继刘徽之后约二百年，祖暅创建另一原理，即等高两立体置于同一平面上，以平行于底面的平面连续截之，如果两截面面积恒相等，那么两立体的体积相等，后人把这个原理叫做“祖暅原理”，祖暅原理是刘徽原理的特例，因为他把=a:a=1。后来意大利人卡瓦列里也发现了这个原理。在欧洲叫做卡瓦列里原理。但卡瓦列里比祖暅迟了一千一百年，比刘徽迟了一千三百多年。可见刘徽的创造和发明是当时最高的成就。
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